As decimais de π

Outro dia um amigo comentou que π é infinito. Fiquei encucada e pensei cá comigo: infinito é algo que toda vez que a gente acha que chegou lá, na verdade ainda não chegou. Sempre tem mais do que o que já se viu.
Ora um círculo de raio 1 pode ser inscrito em um quadrado de lado 2. Sua área, que vale π é menor do que a área do quadrado, que vale 4. Ou seja, π é um número positivo e pequeno, pois é menor do que 4. Não pode ser infinito !?!
O que tem de infinito no π é o número de casas decimais depois da vírgula. Podemos escrevê-lo com muitas casas decimais (no caso abaixo, com 85 casas depois da vírgula):
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280

mas sempre existirão mais infinitas outras depois delas. E o que é ainda mais legal - não tem nada de repetido, como nas dízimas periódicas. Isto nos deixa meio frustrados, pois nunca conseguiremos escrever a expressão inteirinha de π! (lembre que as dízimas periódicas a gente também não consegue escrever, mas temos uma boa ideia exibindo a parte que repete).
Apesar de sabermos que nunca conseguiremos exibir π por inteiro, as pessoas continuam calculando mais e mais decimais de π. Kanada e seus colaboradores, por exemplo, calcularam 1.241.100.000.000 decimais de π em 2002. Em outubro de 2011, Kondo bate o recorde calculando 10.000.000.000.050 decimais.
Por que fazemos isto? Por um lado, calculamos porque podemos. Com computadores cada vez mais rápidos e potentes, pode-se calcular cada vez mais decimais. Também há o desafio de se “bolar” algoritmos cada vez mais rápidos e eficientes. O cálculo de 100.265 decimais de  π , feito por Shanks e Wrench em 1961, precisou de 105.000 operações aritméticas. Já o algoritmo inventado em 1984 pelos irmãos Borwein, obteve os mesmos dígitos com apenas 112 operações.
Uma vez que se tem bons algoritmos, eles passam a ser usados para testar e comparar o desempenho de novos softwares e computadores. Mas talvez o mais intrigante, contudo, seja poder ver se a conjectura sobre a distribuição aleatória dos dígitos na expansão decimal de π parece correta. O que se imagina é que um dígito tem a mesma probabilidade de aparecer na expansão de π do que qualquer outro. Assim, ao calcularmos as decimais deveríamos encontrar basicamente a mesma frequência para qualquer dígito e, que quanto mais casas decimais tivermos, melhor deve ser esta estimativa. Ora, em 1999, examinando 200 bilhões de casas decimais de π, Kanada e Takahashi obtiveram o seguinte número de ocorrências, que parece concordar com a conjectura:

Dígito                     Número de ocorrências
   0                               20.000.030.841
   1                               19.999.914.711
   2                               20.000.136.978
   3                               20.000.069.393
   4                               19.999.921.691
   5                               19.999.917.053
   6                               19.999.881.515
   7                               19.999.967.594
   8                               20.000.291.044
   9                               19.999.869.180